Suma de n términos en una progresión geométrica
Dada una progresión geométrica es interesante conocer la suma de n términos consecutivos
Sabemos que
entonces:
Si colocamos la suma en primer lugar y le restamos esa misma suma multiplicada por la razón, se cancelan todos los sumandos salvo el primero de la primera suma y el últimimo de la segunda, como se puede observar:
{10}\\&\;&r\cdot\;S\fs1_{n}\fs3&=&\cancel{a\fs1_{1}\cdot\;r}&\fs3+\cancel{a\fs1_{1}\fs3\cdot\;r^{\fs12}}&+\cancel{a\fs1_{1}\fs3\cdot\;r^{\fs13}}&+...+&a\fs1_{1}\fs3\cdot\;r^{\fs1n}\;\end{eqnarray}\right\.\;)
{400}\;\end{eqnarray}\right\.\;)
Ahora, sacando factor común en ambos miembros, se tiene:
=a\fs1_{1}\fs3(1-r^{\fs1n}\fs3)\;\Rightarrow\;\box{S\fs1_{n}\fs3=\frac{a\fs1_{1}\fs2(1-r^{\fs1n})\fs2}{1-r}})
Esta fórmula tiene distintas versiones (si has visto antes la fórmula de la suma puede que no coincida con la que hay arriba)
\fs2}{1-r}\;\fs3\;=\;\frac{(-1)a\fs1_{1}\fs2(1-r^{\fs1n})\fs2}{-1(1-r)}\;\fs3\;\Rightarrow\;\box{S\fs1_{n}\fs3\;=\frac{a\fs1_{1}\fs2(r^{\fs1n}\fs2-1)}{r-1}})
}{r-1}\;=\;\frac{a\fs1_{1}\fs2r^{\fs1n}\fs2-a\fs1_{1}}{r-1}\;=\;\frac{a\fs1_{1}\fs2r^{\fs1n-1}\fs2\cdot\;r-a\fs1_{1}}{r-1}=\frac{a\fs1_{n}\fs2r-a\fs1_{1}}{r-1}\;\Rightarrow\;\box{S\fs1_{n}\fs3\;=\frac{a\fs1_{n}\fs2r-a\fs1_{1}}{r-1}})
Por tanto tenemos tres fórmulas equivalentes para la suma de n términos en una progresión geométrica que usaremos indistintamente, según nos convenga
\fs2}{1-r}}\;\;\;\;\box{S\fs1_{n}\fs3\;=\frac{a\fs1_{1}\fs2(r^{\fs1n}\fs2-1)}{r-1}}\;\;\;\;\box{S\fs1_{n}\fs3\;=\frac{a\fs1_{n}\fs2r^\;-a\fs1_{1}}{r-1}})
