Propiedades del Producto
El producto de matrices es asociativo
Dadas tres matrices
Amxn , Bnxp y Cpxq entonces
A·(B·C)=(A·B)·C .
El producto de matrices NO es conmutativo
Dadas dos matrices
Amxn y Bnxm A·B ≠
B·A. Por lo general el producto de matrices no es conmutativo, de hecho puede ocurrir que se pueda hacer
A·B y que no sea posible realizar
B·A debido a la dimensión de las matrices. E incluso pudiendo hacerse el producto la dimensión de la matriz resultante no ser la misma. En las matrices
Amxn y Bnxm A·B es una matriz de dimensión mxm mientras que si hacemos B·A la dimensión de la matriz resultante es nxn.
Elemento neutro
Dada una matriz A ¿Existe alguna matriz tal que al multiplicarse por A se tengo por resultado A?
En ciertas condiciones eso es posible y a la matriz que cumple con esa condición se le llama matriz identidad.
Si
An es una matriz cuadrada de orden n entonces, la matriz identidad
In que está formada por 1 en la diagonal principal y 0 el resto verifica que
A·I=I·A=A
\cdot\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\0&-3\end{matrix}\right))
Si la matriz no es cuadrada,
Amxn, entonces podemos afirmar que existen dos matrices
In e Im tales que
Amxn·In=Amxn y Im·Amxn=Amxn a estas matrices se les llama identidad por la derecha y por la izquierda respectivamente.
Dadas dos matrices no nulas su producto puede ser la matriz nula
A≠0 , B ≠ 0 y A·B = 0
No se verifica la ley de cancelación
El producto de matrices es distributivo respecto a la suma tanto a la izquierda como a la derecha.
Dadas tres matrices Amxn , Bnxp y Cnxp entonces
A·(B+C)=A·B +A·C (distributividad a la izquierda)
Dadas tres matrices Apxq , Bnxp y Cnxp entonces
(B+C)·A=B·A +C·A (distributividad a la derecha)
