Sucesos y Probabilidad

Un grupo de excursionistas está realizando una ruta por el parque de Los Alcornocales, en un momento dado se encuentran con tres posibles caminos, a los que llamaremos A, B y C. La posibilidad de que tomen cualquier camino es la misma. Se sabe que la probabilidad de que realicen la ruta sin perderse si toman el camino A es 0.7, si toman el B 0.8 y el C 0.9. Si se sabe que han acabado la ruta y no se han perdido ¿Cuál es la probabilidad de que hayan tomado el camino B?
En el ejercicio, inicialmente hay unas probabilidades de tomar cada camino y de perderse o no, en función del camino que tomemos. Luego recibimos una nueva información, sabemos que no se han perdido. Esta nueva información modificará esas probabilidades.
Para resolver problemas de este tipo recurriremos al teorema de Bayes que enunciamos a continuación

Teorema de Bayes.

Sean A₁,A₂,...,A_k un sistema completo de sucesos, es decir, incompatibles dos a dos
A_i A_j= Ø y A₁U A₂U...U A_k= y P(A_i )>0, sea B un suceso cualquiera con P(B)>0. Se tiene entonces que:

A P(A_i ) se le llama probabilidad a priori, es la probabilidad de A_i antes de modificarse por la información que aporta B.
A P(B /A_i ) se le llama verosimilitudes.
P(A_i / B) son las probabilidades a posteriori, es la probabilidad de A_i una vez que usamos la información que aporta B.

Resolvamos el ejercicio con el que hemos comenzado este apartado.

Definimos los sucesos

A = "Tomar el camino A"
B = "Tomar el camino B "
C = "Tomar el camino C "
P = "Perderse" implica que P^c = " No perderse"