Factorización de un polinomio
Raíz de un polinomio
Diremos que un número
x=a es raíz de un polinomio
P(x) si al
evaluar P en
a se anula, es decir,
P(a)=0 .
Un polinomio es divisible por otro si al realizar la división el resto es 0.
Por tanto, si
a es raíz de un polinomio
P(x), teniendo en cuenta el teorema del resto, podemos afirmar que
P(x) es divisible por
x-a.
Si a es una raíz de un polinomio entonces a divide al término independiente.
Dado P(x) = cnxn + cn-1xn-1 +...+ c1x + c0 y sea a una raíz de P
P(a) = cnan + cn-1an-1 +...+ c1a + c0 , al sea a una raíz, P(a) = 0
cnan + cn-1an-1 +...+ c1a + c0 = 0 pasamos el término independiente al segundo miembro y sacamos factor común a a, queda a·( cnan-1 + cn-1an-2 +...+ c1 ) = - c0 de aquí se deduce que la raíz es divisor del término independiente.
Esto nos permite buscar las raíces entre los divisores del término independiente
Factorizar un polinomio
Factorizar consiste en descomponer un polinomio como producto de otros más simples. Cuando un polinomio no se puede poner como producto de otros más simples se dice que es irreducible.
Para factorizar un polinomio hallamos su raíces, si
a es una raíz de
P(x), entonces
P(x)=(x-a)·P1(x), así hemos descompuesto
P como producto de dos polinomios, reiteramos el proceso, ahora con
P1y seguimos hasta que nos encontremos con un polinomio irreducible.
Factoriza el polinomio
P(x)=2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6
Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raíz serán los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6.
Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamos continuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible.
En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado raíces enteras
2x2 +3, con este polinomio podemos continuar planteando una ecuación de segundo grado, aún así no tiene raíces reales por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso.
La factorización queda:
2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 =(x-1)2(x+2)(2x2 +3) 
