Ecuación implícita o general
Si partimos de la ecuación continua
e igualamos las ecuaciones dos a dos se tiene
v_2\;=\;(y-p_2)v_1\;\Rightarrow\;v_2x-v_1y+p_2v_1-p_1v_2=0)
v_3\;=\;(z-p_3)v_1\;\Rightarrow\;v_3x-v_1z+p_3v_1-p_1v_3=0)
Esto se puede generalizar expresandolo de la forma
A esta expresión se le conoce como
ecuación implícita o general de la recta.
Si tenemos en cuenta que cada una de las expresiones anteriores es la ecuación de un plano en el espacio, se interpreta la ecuación de la recta como la intersección de dos planos.
Estas ecuaciones no son únicas pues cualesquiera dos planos que sean incidentes en esa recta son válidos.
Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos P(0,-1,2) y Q(-1,0,1)
Una forma de hallar la ecuación es deduciéndola a partir de la ecuación continua
Para hallar la ecuación continua necesitamos un punto y un vector de dirección. Como P y Q son dos puntos de la recta, el vector
será un vector director de la recta.
,1-2)=(-1,1,-1))
Así la ecuación continua de la recta es
Ahora tomados dos igualdades
(-1)\;\Rightarrow\;x+y+1=0)
(-1)\;\Rightarrow\;-x+z-2=0)
Estas son dos ecuaciones implícitas de la recta. Si quieres ampliar tus conocimientos comprueba que la siguiente ecuación implícita representa a la misma recta
