Cálculo del término general conocidos dos términos

Si conocemos dos términos cualesquiera de una progresión geométrica podemos hallar su término general, si los términos son consecutivos o difieren un número impar de lugares, encontraremos una única progresión pero si difieren un número par de lugares habrá dos sucesiones que cumplan con las condiciones. Veámoslo en un par de ejemplos.

Halla el término general de una progresión geométrica de la que se sabe que $\fs2a_3=2$ y $\fs2a_6=16$ .

Vamos a calcular la razón $\fs2a_n=a_1\cdot\;r^{n-1}\Rightarrow\;a_3=a_1\cdot\;r^2\;y\;a_6=a_1\cdot\;r^5\Rightarrow$

$\;\frac{a_6}{a_3}=\frac{a_1\cdot\;r^5}{a_1\cdot\;r^2}\fs2=r^3$

$\;\frac{a_6}{a_3}=\frac{16}{2}\fs2=8\;\Rightarrow\;r^3=8\;\Rightarrow\;r=2$

Luego $\fs2a_3=a_1\cdot\;r^2\;\Rightarrow\;2=a_1\cdot\;4\;\Rightarrow\;a_1=\large\;\frac{2}{4}\;\Rightarrow$

$\fs2\;a_1=\large\frac{1}{2}$

$\fs2a_n=a_1\cdot\;r^{n-1}\;\Rightarrow\;a_n=\large\frac{1}{2}\cdot\;2^{n-1}\;\Rightarrow$

$\fs2a_n=2^{-1}\cdot\;2^{n-1}\;\Rightarrow\;a_n=2^{n-2}$

Calcula el término general de una progresión geométrica de la que se sabe que $\fs2a_4=3$ y $\fs2a_6=27$ .

Vamos a calcular la razón $\fs2a_n=a_1\cdot\;r^{n-1}\Rightarrow\;a_4=a_1\cdot\;r^3\;y\;a_6=a_1\cdot\;r^5\Rightarrow$

$\;\frac{a_6}{a_4}=\frac{a_1\cdot\;r^5}{a_1\cdot\;r^3}\fs2=r^2$

$\;\frac{a_6}{a_4}=\frac{27}{3}\fs2=9\;\Rightarrow\;r^2=9\;\Rightarrow\;r=\pm3$

En este caso hay dos progresiones geométrica posibles:

$\fs21.\;r=3\;\Rightarrow\;a_4=a_1\cdot3^3\;\Rightarrow\;a_1=\large\frac{3}{3^3}\fs2=3^{-2}$

$\fs2a_n=a_1\cdot\;r^{n-1}\;\Rightarrow\;a_n=3^{-2}\cdot3^{n-1}\;\Rightarrow\;a_n=3^{n-3}$

$\fs22.\;r=-3\;\Rightarrow\;a_4=a_1\cdot(-3)^3\;\Rightarrow$

$\fs2a_1=\large\frac{3}{(-3)^3}=-\frac{1}{3^2}\fs2=-3^{-2}$

$\fs2a_n=a_1\cdot\;r^{n-1}\;\Rightarrow\;a_n=-3^{-2}\cdot(-3)^{n-1}\;\Rightarrow$

$\fs2a_n=a_1\cdot\;r^{n-1}\;\Rightarrow\;a_n=-3^{-2}\cdot(-3)^{n-1}\;\Rightarrow$

$\fs2a_n=(-1)^n\cdot3^{n-3}$

El término general de una progresión geométrica de la que se sabe que $a_5=-32805$ y $a_7=-2657205$ es:

$\fs2a_n=3$-6$^{n-1}$
$\fs2a_n=6$-3$^{n-1}$
$\fs2a_n=9^n$
$\fs2a_n=-5$9$^{n-1}$